Cauchy Integral Formula

释义 Definition

柯西积分公式：复变函数论中的核心定理之一。它说明：如果函数在某个闭合曲线及其内部解析（全纯），那么曲线内部任意一点的函数值可以由该曲线上的围道积分表示；并可进一步推出函数各阶导数的积分表示。该公式是证明许多重要结论（如解析函数的无穷可导性、估计不等式等）的基础。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈkoʊʃi ˈɪntɪɡrəl ˈfɔːrmjələ/

例句 Examples

We used the Cauchy integral formula to compute the value of the function inside the circle.
我们用柯西积分公式来计算圆内某点的函数值。

By applying the Cauchy integral formula on a positively oriented contour, we can derive bounds on higher derivatives and prove that analytic functions are infinitely differentiable.
在一条按正方向取向的闭合曲线上应用柯西积分公式，我们可以推出高阶导数的界，并证明解析函数具有无穷可导性。

词源 Etymology

“Cauchy”来自法国数学家奥古斯丁-路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy, 1789–1857）的姓氏；“integral formula”意为“用积分表达的公式”。该术语用来纪念柯西在复分析与积分理论发展中的奠基性贡献。

相关词 Related Words

• Analytic
• Holomorphic
• Contour
• Contour Integral
• Residue
• Cauchy Theorem
• Laurent Series
• Complex Analysis

文学与经典著作 Literary Works

• Complex Analysis（Lars V. Ahlfors）：以柯西积分公式为主线建立复分析的基本结构。
• Functions of One Complex Variable I（John B. Conway）：系统讨论围道积分与柯西积分公式及其推论。
• Real and Complex Analysis（Walter Rudin）：在更一般的分析框架下介绍并应用该公式。
• Complex Variables and Applications（James W. Brown & Ruel V. Churchill）：面向学习者的经典教材，多处用到柯西积分公式进行计算与估计。
• Complex Analysis（Elias M. Stein & Rami Shakarchi）：在理论与应用（如估计与级数）中频繁引用该公式。